# ElectronCloud

**Repository Path**: li20020410/electron-cloud

## Basic Information

- **Project Name**: ElectronCloud
- **Description**: No description available
- **Primary Language**: C++
- **License**: GPL-3.0
- **Default Branch**: master
- **Homepage**: None
- **GVP Project**: No

## Statistics

- **Stars**: 0
- **Forks**: 0
- **Created**: 2021-03-09
- **Last Updated**: 2026-02-06

## Categories & Tags

**Categories**: Uncategorized

**Tags**: None

## README

这个程序利用氢原子的波函数求出二维空间某处电子出现的概率，并通过简单的OpenGL绘出电子云图。

类氢原子的波函数：
$$\Psi_{n,l,m}(r, \theta, \phi) = R(r) Y(\theta, \phi)$$
其中，
$$
R_{n,l}(r) =- \sqrt{(\frac{2z}{na_0})^3\frac{(n-l-1)!}{2n(n+l)!}} \cdot e^{-\frac{Zr}{na_0}} \cdot (\frac{2Zr}{na_0}) ^ l \cdot L_{n-l-1}^{2l+1}(\frac{2Zr}{na_0})
$$
$$
Y_{l,m}(\theta, \phi) = (-1)^m \cdot \sqrt{(2l+1)\frac{(l - |m|)!}{2(l + |m|)!}} \cdot P_{l}^{m}(\cos\theta) \cdot e^{im\phi}
$$

$L_{n}^{a}(x)$
为广义拉盖尔函数，
$P_{l}^{m}(x)$
为缔合勒让德函数。

广义拉盖尔函数有解析表达式：
$$L_{n}^{a}(x) = \sum_{k=0}^{n}(-1)^k \cdot C_{n+a}^{n-k} \cdot \frac{x^k}{k!}$$

缔合勒让德表达式满足以下递推关系：
$$(l-m)P_l^m(x) = x(2l-1)P_{l-1}^m(x)-(l+m-1)P_{l-2}^m(x)$$
当$m=0$时，缔合勒让德表达式退化为非缔合表达式，满足如下递推关系：
$$P_{n+1}(x) = \frac{2n+1}{n+1}xP_{n}(x) - \frac{n}{n+1}P_{n-1}(x)$$

求出两个函数后即可求得指定位置的波函数，进而得到概率密度。